- Teoria Unificata dei Gradi d'Arrampicata: 1) Assiomi e definizioni

La nostra teoria si fonda sui concetti primitivi di “roccia”, “tentativo” e “chiusura” che non verranno da noi definiti inquanto ben radicati nella comunità degli arrampicatori. (Ok d’accordo, è una cazzata, però...)

Il nostro obbiettivo principale è quello di costruire una “funzione grado” che ci dirà esattamente il grado di qualsiasi problema d’arrampicata in qualsiasi istante di tempo considerato perché non riusciamo assolutamente a dormire sonni tranquilli altrimenti.

Useremo le comuni notazioni N,Q,R, per gli insiemi di numeri naturali, razionali e reali rispettivamente.

Sia ∆ l’insieme di tutte le rocce, e tϵR la coordinata “temporale”.

Per ogni xϵ∆, tϵR, denoteremo con A(x,t) l’insieme dei tentativi su x fino al tempo t, e con S(x,t) l’insieme delle chiusure di x fino al tempo t.

• Assioma 1) ∆ è finito. (ci piacerebbe che non fosse così...)
• Assioma 2) ogni “chiusura” è anche un “tentativo”. (allora S(x,t)⊆A(x,t) per ogni tϵR, xϵ∆)
• Assioma 3) A(x,t) è finito per ogni xϵ∆, tϵR. (allora così è pure S(x,t))

Ora possiamo definire le funzioni a,s: ∆×R → N come:

• a(x,t)=#A(x,t) (numero di elementi di A(x,t))
• s(x,t)=#S(x,t) (numero di elementi S(x,t))

Osservare che per l’ assioma 3) consegue che: 0 ≤ s(x,t) ≤ a(x,t) per ogni xϵ∆, tϵR.

• Assioma 4) per ogni xϵ∆ sia s(x,t) che a(x,t) sono funzioni crescenti di t.

(Attraverso l’ assioma 4) ci assicuriamo che i numeri di tentativi e chiusure non decrescano nel tempo)

• Definizione: chiamiamo un problema un punto (x,t) di ∆×R per il quale a(x,t) ≠ 0. (diremo “x è un problema al tempo t”)

Osservazione: se (k,t) è un problema allora (x,t) è un problema per ogni t>t. (Assioma 4)

• Definizione: un problema (x,t) si dice un progetto se s(x,t) = 0. (diremo “x è un progetto al tempo t”)
• Definizione: essendo (x,t) un progetto chiamiamo classe di (x,t) il numero naturale n=a(x,t). (diremo “x è un progetto di classe n al tempo t”)
• Definizione: si dice un problema liberato un problema che non è un progetto.

Osservazione: ancora se (x,t) è un problema liberato allora (x,t) è un problema liberato per ogni t>t. (Assioma 4)

• Definizione: essendo (x,t) un problema liberato diremo “x è stato un progetto di classe n” dove n=max{a(x,t) | tϵR & (x,t) è un progetto} .
• Definizione: chiamiamo (x,t) solo un pezzo di roccia se a(x,t) = 0. (diremo “x è solo un pezzo di roccia al tempo t, vecchio...”)

Osservazione: se (x,t) è solo un pezzo di roccia allora (x,t) è solo un pezzo di roccia per ogni t<t. (Assioma 4)

Ora siamo pronti a definire la funzione G: ∆×R → [0,1] che chiamiamo “funzione grado” come:

• G(x,t) = 0 ---------------- se (x,t) è solo un pezzo di roccia.
• G(x,t) = s(x,t)/a(x,t) --- se (x,t) è un problema.

Osservare che per l’ assioma 3) e per definizione, per ogni xϵ∆ e tϵR, G(x,t) è un numero razionale qϵQ tale che 0≤q≤1.

Prima di fare considerazioni dobbiamo dare ancora qualche definizione e assioma:

• Definizione: per ogni problema (x,t) e (y,s) diremo “(x,t) è più duro (o facile) di (y,s)” se G(x,t)≤G(y,s) (rispettivamente G(x,t)≥G(y,s)) e molto più duro o facile se le disuguaglianze sono strette.
• Definizione: un problema (x,t) si dice una scala se G(x,t) = 1. (diremo “x è veramente na scala al tempo t”)

Di conseguenza ogni progetto è molto più duro di qualsiasi problema liberato che è più duro di qualsiasi scala. E non si può dire che qualsiasi “solo un pezzo di roccia” sia più duro o più facile di qualsiasi altra cosa.

• Assioma 5) Unicità dei tentativi: per ogni xϵ∆, tϵR al più un tentativo può avvenire su x al tempo t. (si suppone che i corpi dei climbers siano fatti di materia solida)
• Assioma 6) Discretezza dei tentativi: per ogni xϵ∆, tϵR esiste un Ɛ>0, ƐϵR tale che nessun tentativo accade su x durante il periodo (t-Ɛ,t)∪(t,t+Ɛ). (anche il climber più fanatico deve fare almeno un “Ɛ-riposo”)

Notare che se un tentativo accade su x al tempo t, allora nessun altro tentativo accade su x fra t-Ɛ e t+Ɛ, e se nessun tentativo accade su x al tempo t allora nessun tentativo accade su x fra t-Ɛ e t+Ɛ.

• Definizione: chiamiamo una caduta un tentativo che non è una chiusura. (allora essendo F(x,t) l’insieme delle cadute su x fino al tempo t, abbiamo: F(x,t)=A(x,t)\S(x,t) e f(x,t)=#F(x,t)=a(x,t)-s(x,t)≥0 per ogni xϵ∆, tϵR)

Analizziamo ora l’ effetto di una nuova caduta avvenuta su un problema x al tempo t :
per l’ assioma 6, prendendo t “abbastanza vicino” a t con t<t, possiamo assumere G(x,t)=s/a per qualche s,aϵN con s≤a e a>0.

Allora a(x,t)=a(x,t)+1=a+1 e s(x,t)=s(x,t)=s, ora:

• G(x,t) = s/(a+1) = (s/a) – (s/a)/(a+1) = G(x,t) – (G(x,t)/(a+1)) ≤ G(x,t)
• Osservazione: ogni nuova caduta su un problema (x,t) fa decrescere il grado di (x,t) di una quantità non negativa: G(x,t)/[a(x,t)+1]

Altrimenti se una chiusura accade su un problema x al tempo t, ancora per l’ assioma 6, prendendo t “abbastanza vicino” a t con t<t, possiamo assumere: G(x,t)=s/a per qualche s,aϵN con s≤a e a>0, a(x,t)=a(x,t)+1=a+1 and s(x,t)=s(x,t)+1=s+1, allora:

• G(x,t) = (s+1)/(a+1) = (s/a) + [1-(s/a)]/(a+1) = G(x,t) + [1-G(x,t)]/(a+1) ≥ G(x,t)
• Osservazione: ogni nuova chiusura su un problema (x,t) fa crescere il grado di (x,t) della quantità non negativa: [1-G(x,t)]/[a(x,t)+1]

Avendo constatato questo è facile provare (esercizio n.1) che per ogni xϵ∆ la funzione G(x,t) è “costante a tratti” con t come punto di discontinuità dove:

1. (x,t) è un scala tale che t=min{tϵR | (x,t) è un problema}.
2. (x,t) è un problema liberato che non è una scala e tale che un tentativo accade su x al tempo t.

Ora tutto quello che dovete fare è chiedere a 8a.nu di aggiungere la possibilità di tenere conto di tutti i vostri tentativi e sarete finalmente in grado di dire qualcosa di “oggettivo” sui gradi... facile come salire na “scala”…

Ulteriori studi sul limite del grado, popolarità di un problema, livello medio degli arrampicatori e scale di gradazione non sono al momento sostenibili causa taglio dei fondi per la ricerca in  finanziaria ...

Michele Caminati.

Il Grado di un Problema: